Question

8．如圖，正方形ABCD中，E、F兩點分別在BC、CD上，BE+DF=EF．求證：
（1）∠EAF=45°；
（2）FA平分∠DFE．

Answer 1

分析 （1）延長CB至G，使BG=FD，連接AG，如圖1，利用“SAS”證明△ABG≌△ADF，得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，而EF=BE+DF，所以EF=EG，再根據(jù)“SSS”證明△AEG≌△AEF，得到∠EAG=∠EAF，則∠EAF=∠DAF+∠ABE，然后利用∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，即可得到∠EAF=45°；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠G=∠AFD，∠G=∠AFE，等量代換得到∠AFE=∠AFD，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）延長CB至G，使BG=FD，連接AG，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠D}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∵EF=BE+DF，
∴EF=EG，
在△AEG和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AG=AF}\\{GE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠BAG=∠DAF，
∴∠EAF=∠DAF+∠ABE，
∵∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，
∴∠EAF=45°；

（2）∵△ABG≌△ADF，
∴∠G=∠AFD，
∵△AEG≌△AEF，
∴∠G=∠AFE，
∴∠AFE=∠AFD，
∴FA平分∠DFE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．