Question

14．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊AD，CD上，∠EBF=45°，連接EF，求證：EF=AE+CF．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠A=∠BCD=90°，把Rt△BAE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△BCG，然后可得FG=FC+CG，再證明△BEF≌△BGF，進(jìn)而可得EF=FG，然后可得EF=AE+CF．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
把Rt△BAE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△BCG，如圖，
∴AE=CG，BE=BG，∠EBG=90°，∠BCG=∠A=90°，
而∠BCF=90°，
∴點(diǎn)G在BC的延長線上，
∴FG=FC+CG，
∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°，
在△BEF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BG}\\{∠EBF=∠FBG}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BGF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=AE+CF．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．