Question

6．如圖，Rt△AOB中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，8），C為AB上一點(diǎn)，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）經(jīng)過點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，且CD⊥OB．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求四邊形OACD的面積．

Answer 1

分析 （1）先求得直線OB的解析式，與y=$\frac{k}{x}$（k＞0）聯(lián)立方程得到D的坐標(biāo)為（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，$\sqrt{2k}$），然后根據(jù)垂直的性質(zhì)設(shè)直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，代入C（4，$\frac{k}{4}$），求得CD解析式，然后與直線OB的解析式聯(lián)立方程得到D的坐標(biāo)為D（$\frac{k+8}{10}$，$\frac{k+8}{5}$），即可得出$\frac{k+8}{10}$=$\sqrt{\frac{k}{2}}$，解方程即可求得k的值．
（2）求得C的坐標(biāo)，從而求得BC，根據(jù)勾股定理求得OB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BAO}}$=（$\frac{BC}{OB}$）²=$\frac{45}{64}$，根據(jù)△OAB的面積求得△BDC的面積，根據(jù)S_{四邊形OACD}=S_△OAB-S_△BDC即可求得．

解答 解：（1）∵B的坐標(biāo)分別為（4，8），
∴直線OB的解析式為y=2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{\frac{k}{2}}}\\{y=\sqrt{2k}}\end{array}\right.$，
∴D（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，$\sqrt{2k}$），
∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，8），C為AB上一點(diǎn)，
∴AB⊥x軸，
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）經(jīng)過點(diǎn)C，
∴C（4，$\frac{k}{4}$），
∵CD⊥OB，
設(shè)直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
代入C（4，$\frac{k}{4}$）得，$\frac{k}{4}$=-2+b，
解得b=$\frac{k}{4}$+2，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{k}{4}$+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{k}{4}+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k+8}{10}}\\{y=\frac{k+8}{5}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{k+8}{10}$，$\frac{k+8}{5}$），
∴$\frac{k+8}{10}$=$\sqrt{\frac{k}{2}}$，
解得k₁=2，k₂=32（舍去），
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{2}{x}$；
（2）把x=4代入y=$\frac{2}{x}$得，y=$\frac{1}{2}$，
∴C（4，$\frac{1}{2}$），
∴AC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=8-$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∵∠BDC=∠BAO=90°，∠DBC=∠ABO，
∴△BDC∽△BAO，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BAO}}$=（$\frac{BC}{OB}$）²
∵OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{80}$，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BAO}}$=（$\frac{\frac{15}{2}}{\sqrt{80}}$）²=$\frac{45}{64}$，
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$×4×8=16，
∴S_△BDC=16×$\frac{45}{64}$=$\frac{90}{8}$，
∴S_{四邊形OACD}=S_△OAB-S_△BDC=16-$\frac{90}{8}$=$\frac{38}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，表示成C、D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．