Question

5．如圖：四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC，BD相交于點(diǎn)M，且AC⊥AB，BD⊥CD，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：△AMB∽△DMC；
（2）求證：AD²=BF•BD；
（3）若BE=1，AE=2，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)锳C⊥AB，BD⊥CD，所以∠BAC=∠BDC=90°，∠AMB=∠DMC是對頂角，即可證明△AMB∽△DMC；
（2）因?yàn)锳C⊥AB，BD⊥CD，所以∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓，可得∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，所以∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，即∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，可證△BAD∽△BFA，得和AB，BF，BD有關(guān)的比例式，即得AB²=BF•BD，又因?yàn)锳B=AD，所以AD²=BF•BD；
（3）由勾股定理易求AB的長，則AD的長也可求出，由（2）可知△BAD∽△BFA，因?yàn)锳B=AD，所以可得AF=BF，設(shè)EF=x，在直角三角形BEF中利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程求出x的值即可．

解答 證明：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC；

（2）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，
∴∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，
∴∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，
∴△BAD∽△BFA，
∴BD：AB=AB：BF，
即AB²=BF•BD，
∵AB=AD，
∴AD²=BF•BD；
（3）∵△BAD∽△BFA，
∴BA：BF=AD：AF，
∴AB=AD，
∴AF=BF，
設(shè)EF=x，則AE=EF=2-x，
∵AE⊥BC，BE=1，
∴BF²=BE²+EF²，
即（2-x）²=1²+x²，
解得：x=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．