Question

5．如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：
（1）求點N的坐標（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）設△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達式；當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，則NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式$\frac{PN}{AB}=\frac{OP}{OA}=\frac{ON}{OB}$，求出OP、PN，即可得出點N的坐標；
（2）由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù)，即可得出S的最大值；
（3）分兩種情況：①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；
②若∠ONM=90°，則∠ONM=∠OAB，證出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：MA=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
作NP⊥OA于P，如圖1所示：
則NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴$\frac{PN}{AB}=\frac{OP}{OA}=\frac{ON}{OB}$，
即$\frac{PN}{3}=\frac{OP}{4}=\frac{1.25x}{5}$，
解得：OP=x，PN=$\frac{3}{4}x$，
∴點N的坐標是（x，$\frac{3}{4}x$）；
（2）在△OMN中，OM=4-x，OM邊上的高PN=$\frac{3}{4}x$，
∴S=$\frac{1}{2}$OM•PN=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}x$=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S與x之間的函數(shù)表達式為S=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4），
配方得：S=-$\frac{3}{8}$（x-2）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴S有最大值，
當x=2時，S有最大值，最大值是$\frac{3}{2}$；
（3）存在某一時刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分兩種情況：①若∠OMN=90°，如圖2所示：
則MN∥AB，
此時OM=4-x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$，
即$\frac{4-x}{4}=\frac{1.25x}{5}$，
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如圖3所示：
則∠ONM=∠OAB，
此時OM=4-x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，
∴$\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}$，
即$\frac{4-x}{5}=\frac{1.25x}{4}$，
解得：x=$\frac{64}{41}$；
綜上所述：x的值是2秒或$\frac{64}{41}$秒．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標與圖形特征、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算、求二次函數(shù)的解析式以及最值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要進行分類討論，通過證明三角形相似才能得出結(jié)果．