Question

18．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BC=6時，求劣弧AC的長．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，則可得AE是⊙O的切線；
（2）首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長公式，即可求得劣弧AC的長．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；

（2）如圖，連接OC，
∵∠B=∠D=60°，OB=OC，
∴△BCO是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，AB=2BC=12，
∴AO=6，
∴劣弧AC的長為$\frac{120•π•6}{360}$=2π．

點評 此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．