Question

20．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，延長AB至點(diǎn)P，使BP=AB，連接PC．
（1）求證：直線PC與⊙O的相切；
（2）連接PO，若正方形邊長為2，求PO的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由O為正方形的中心得到∠OCB為45°，再由AB=BC=BE，得到三角形BCE為等腰直角三角形，即∠BCE為45°，進(jìn)而確定出∠OCE為直角，即CE垂直于OC，可得證；
（2）連接OB，過O作OG垂直于AB，利用垂徑定理和等腰直角三角形得到OG=AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=1，可得出GP=3，然后根據(jù)勾股定理即可求出PO的長．

解答 解：（1）連接OC，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠OCB=45°，
∵AB=BC=BP，∠CBP=90°，
∴△CBP為等腰直角三角形，即∠BCP=45°，
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=90°，
∴CP⊥OC，
∴直線PC與⊙O的相切；

（2）連接OB，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠OBG=45°，
過O作OG⊥AB，可得出OG=AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵AB=BP=2，
∴PG=3，
∴OP=$\sqrt{G{P}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定，正方形的性質(zhì)，垂徑定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．