Question

5．如圖，⊙O的半徑為3，Rt△ABC的頂點(diǎn)A、B在⊙O上，∠B=90°，BA=BC，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OC的最小值是（　�。�

• A． 3$\sqrt{2}$-3
• B． $\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接AO，當(dāng)OC⊥OA時(shí)，OC最短，由∠B=90°，得到BC延長線與AO的延長線交于D，點(diǎn)D會在圓上，得到AC=CD，解直角三角形得到CD=AC=$\sqrt{2}$CB，AB=
BC，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論

解答 解：連接AO，當(dāng)OC⊥OA時(shí)，OC最短，
∵∠B=90°，
∴BC延長線與AO的延長線交于D，點(diǎn)D會在圓上，
∵OC⊥AD，OA=OD，
∴AC=CD，
∵∠CAB=45°，
∴CD=AC=$\sqrt{2}$CB=$\sqrt{2}$AB=BC，
∵AD²=BD²+AB²=[（1+$\sqrt{2}$）BC]²+BC²=36，
∴BC²=18-9$\sqrt{2}$，
∴AC²=36-18$\sqrt{2}$，
∵AO=3，
∴OC=3$\sqrt{2}$-3．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理，垂線段最短，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．