Question

1．已知正方形ABCD中，F(xiàn)為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，△ABE為正三角形，若BF=BG且∠FBG=60°，連接EG、AF、CF．
（1）求證：EG=CF；
（2）當(dāng)F點(diǎn)在何處時(shí)，AF+CF的值最小，并說明理由；
（3）當(dāng)F點(diǎn)在何處時(shí)，AF+CF+BF的值最小，并說明理由；
（4）AF+CF+BF的值最小為$\sqrt{3}+1$時(shí)，求正方形的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABF=∠CBF=45°，AB=BC，由△ABE是等邊三角形，得到AB=BE，∠ABE=60°，等量代換得到BE=BC，∠EBG=∠CBF，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CF的值最�。�
（3）連接CE，當(dāng)F點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AF+CF+BF的值最小，通過全等三角形得到AF=EG，由已知條件得到△BGF是等邊三角形．求出BF=GF．推出AF+BF+CF=EG+GF+CF．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短得到EG+GF+CF=EC最短；于是得到結(jié)論；
（4）過E點(diǎn)作EM⊥BC交CB的延長線于M，由題意求出∠EBM=30°，設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△EMC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠CBF=45°，AB=BC，
∵△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
∵∠GBF=60°，
∴∠EBG=∠ABF，∴BE=BC，∠EBG=∠CBF，
在△BEG與△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠EBG=∠CBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△CBF，∴EG=CF；

（2）當(dāng)F點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，由兩點(diǎn)之間，線段最短得AF+CF的值最�。�

（3）如圖1，連接CE，當(dāng)F點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AF+CF+BF的值最小，
理由如下：連接FG，在△AFB與△EGB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABF=∠EBG}\\{BF=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EBG，
∴AF=EG，
∵∠GBF=60°，GB=FB，
∴△BBGF是等邊三角形．
∴BF=GF．
∴AF+BF+CF=EG+GF+CF．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EG+GF+CF=EC最短；
∴當(dāng)F點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AF+BF+CF的值最小，即等于EC的長；

（4）解：過E點(diǎn)作EM⊥BC交CB的延長線于M，
∴∠EBM=90°-60°=30°，
設(shè)正方形的邊長為x，則BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EM=$\frac{x}{2}$，
在Rt△EMC中，
∵EM²+MC²=EC²，
∴（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+x）²=（$\sqrt{3}$+1）²．
解得，x=$\sqrt{2}$（舍去負(fù)值）．
∴正方形的邊長為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．