Question

15．如圖，拋物線l₁為y₁=ax²+ax+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{8}$），且與x軸交于點(diǎn)A，B，與y₁軸交于點(diǎn)C，將拋物線l₁向右平移1個(gè)單位，所得拋物線作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得拋物線l₂并且拋物線l₂與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求a的值及拋物線l₂的解析式；
（2）點(diǎn)M（0，$\frac{1}{2}$），直線a平行于y軸，分別交拋物線l₁于點(diǎn)F，l₂于點(diǎn)N，則當(dāng)點(diǎn)O，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求平行四邊形OMFN的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線l₁上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為G，使tan∠OPG=$\frac{1}{2}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （　　）1）把點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{8}$）代入y₁=ax²+ax+1中求出a即可得到拋物線l₁的解析式，再把y₁=-$\frac{1}{2}$x²+-$\frac{1}{2}$x+1配成頂點(diǎn)式得到y(tǒng)₁=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，利用根據(jù)拋物線的幾何變換確定拋物線l₂的解析式；
（2）設(shè)F（x，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1），則N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1），如圖，F(xiàn)N=|x²-2|，利用平行四邊形的性質(zhì)FN=OM，即|x²-2|=$\frac{1}{2}$，再分別解方程x²-2=$\frac{1}{2}$和x²-2=-$\frac{1}{2}$，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算對(duì)應(yīng)的四邊形的面積；
（3）如圖，設(shè)P（m，n），利用正切定義得到|$\frac{m}{n}$|=$\frac{1}{2}$，則根據(jù)待定系數(shù)法可確定直線OP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x或y=-$\frac{1}{2}$x，再分別解解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$和方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{8}$）代入y₁=ax²+ax+1得$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$a+1=$\frac{9}{8}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以拋物線l₁的解析式為y₁=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1，
y₁=-$\frac{1}{2}$x²+-$\frac{1}{2}$x+1=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，把拋物線l₁向右平移1個(gè)單位，所得拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$-1）²+$\frac{9}{8}$，即y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$
拋物線y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得拋物線l₂的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，即y₂=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）設(shè)F（x，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1），則N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1），如圖，
∴FN=|-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1-（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1）|=|x²-2|，
∵點(diǎn)O，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
而FN∥OM，
∴FN=OM，即|x²-2|=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x²-2=$\frac{1}{2}$，解得x₁=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，此時(shí)平行四邊形的面積=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
當(dāng)x²-2=-$\frac{1}{2}$，解得x₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，此時(shí)平行四邊形的面積=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
綜上所述，平行四邊形OMFN的面積為$\frac{\sqrt{10}}{4}$或$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
（3）如圖，設(shè)P（m，n）
∵tan∠OPG=$\frac{PG}{OG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|m|}{|n|}$=$\frac{1}{2}$，即|$\frac{m}{n}$|=$\frac{1}{2}$，
設(shè)直線OP的解析式為y=kx，
把P（m，n）代入得k=$\frac{m}{n}$，所以k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線OP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x或y=-$\frac{1}{2}$x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}-1}\\{y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right.$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（-$\sqrt{3}$-1，$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$）；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（-$\sqrt{3}$-1，$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，會(huì)進(jìn)行二次函數(shù)圖象的幾何變換；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．