Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是切線，AC⊥CD，DE⊥AB，求證：DE²=AC•FC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接OD，BE，交于點(diǎn)G，則可知四邊形CDGF為矩形，CD=FG=GB，可證明△OBG≌△ODE，可知DE=CD，結(jié)合切割線定理可得出結(jié)論．

解答：證明：
連接OD，BE，交于點(diǎn)G，
∵CD是切線，
∴∠ODC=90°，
∵AB為直徑，
∴∠CFB=90°，且AC⊥CD，
∴四邊形CDGF為矩形，
∴CD=FG，OD∥AC，
∵O為AB中點(diǎn)，
∴G為BF中點(diǎn)，
∴BG=FG=CD，
在△OBG和△ODE中

∠BOG=∠DOE ∠BGO=∠DEO OB=OD

∴△OBG≌△ODE（AAS），
∴CD=DE，
又CD為切線，AC為割線，
∴CD²=AC•CF，
∴DE²=AC•CF．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明CD=DE是解題的關(guān)鍵．注意切割線定理的應(yīng)用．