Question

1．如圖，C為線段AE上一動點（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的結(jié)論有（　�。�

• A． ①③⑤
• B． ①③④⑤
• C． ①②③⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 ①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．
③先證明△ACP≌△BCQ，即可判斷出CP=CQ，③正確；
②根據(jù)∠PCQ=60°，可得△PCQ為等邊三角形，證出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正確．
④沒有條件證出BO=OE，得出④錯誤；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，結(jié)論①正確．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACP=∠BCQ}&{\;}\\{∠CAP=∠CBQ}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴CP=CQ，結(jié)論③正確；
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，結(jié)論②正確．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠AEO，
∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴結(jié)論⑤正確．沒有條件證出BO=OE，④錯誤；
綜上，可得正確的結(jié)論有4個：①②③⑤．
故選：C．

點評 此題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用、平行線的判定；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．