Question

如圖1，點A是線段BC上一點，△ABD和△ACE都是等邊三角形．
（1）連接BE，CD，求證：BE=CD；
（2）如圖2，作DP∥BC交EA于D′，交EC于P．
①判斷△ADD′的形狀，并證明；
②若△BDD′≌△D′PC，求證：AC=2AD′．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）易證∠DAE=60°，可得∠DAC=∠BAE=120°，即可證明△DAC≌△BAE，可得BE=CD；
（2）①易證∠ADP=60°，根據(jù)∠DAE=60°即可判定△ADD′是等邊三角形；
②易證BD=AD'，根據(jù)△BDD′≌△D′PC，可得PD'=PC，即可求得∠ACD'=30°，根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊一半即可解題．

解答：證明：（1）∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE=120°，
∵在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE=120° AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE，（SAS）
∴BE=CD；

（2）①∵DP∥BC，
∴∠ADP=∠DAB=60°，
∵∠DAE=60°，
∴△ADD′是等邊三角形；
②∵△ABD，△ADD′是等邊三角形，
∴BD=AD，AD=AD'，
∴BD=AD'，
∵△BDD′≌△D′PC，
∴PD'=PC，
∵DP∥BC，
∴∠EPD=60°，
∴∠PCD'=30°，
∴∠ACD'=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AD'C=90°，
∴AC=2AD'．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了30°角所對直角邊是斜邊一半的性質，本題中求證△DAC≌△BAE是解題的關鍵．