Question

17．實(shí)踐操作：如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)O；
②以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓．
綜合運(yùn)用：在你所作的圖中，
（1）直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（2）證明：BA•BD=BC•BO；
（3）若AC=5，BC=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 實(shí)踐操作：根據(jù)要求畫出⊙O即可；
（1）相切．作OD⊥AB于D．只要證明OD=OC=r即可；
（2）欲證明BA•BD=BC•BO，只要證明△ABC∽△OBD即可；
（3）在Rt△BOD中，設(shè)半徑為x，則OC=OD=x，BO=（12-x），在Rt△BOD中，則有：x²+8²=（12-x）²，解方程即可解決問題；

解答 解：實(shí)踐操作，⊙O如圖所示：

綜合運(yùn)用：
（1）結(jié)論：相切．
理由：作OD⊥AB于D．
∵OA平分∠CAB，OD⊥AB，OC⊥CA，
∴OD=OC=r，
∴AB是⊙O的切線．
故答案為相切．

（2）證明：∵∠BCA=90°，∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△OBD，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BO}{BA}$，
∴BA•BD=BC•BO．

（3）∵AC=5，BC=12，AC=AD，
∴AD=5，AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴DB=13-5=7，
設(shè)半徑為x，則OC=OD=x，BO=（12-x），
則有：x²+8²=（12-x）²，
解得：x=$\frac{10}{3}$．
答：⊙O的半徑為$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．