Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC中點(diǎn)，連接EF，將矩形CDEF繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形CD′E′F′，點(diǎn)E′恰好落在AB邊上，E′F′與BC交于點(diǎn)G
（1）求證：BE′=D′E′；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求△GF′C的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CE′，CE，由旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)即可證明BE′=D′E′；
（2）由旋轉(zhuǎn)可知CF′=CF，∠F′=∠CFE=90°，進(jìn)而可證明△BGE′≌△CGF′，由全等三角形的性質(zhì)可得：F′G=BG，繼而可得CG+F′G+CF′=CG+BG+CF=3．即△GF′C的周長(zhǎng)是3．

解答：（1）證明：連接CE′，CE，由旋轉(zhuǎn)可知，CE′=CE，D′E′=DE，
由正方形ABCD可得，CD=CB，∠D=∠B=90°，
在Rt△CDE和Rt△CBE′中，

CD=CB CE=CE′

∴Rt△CDE≌Rt△CBE′（HL），
∴DE=BE′，
∴BE′=D′E′．
（2）由旋轉(zhuǎn)可知CF′=CF，∠F′=∠CFE=90°，
∴∠F′=∠B，
∵CF=DE，D′E′=DE，BE′=D′E′
∴CF′=BE′，
又∠BGE′=∠F′GC，
在△BGE′和△CGF′中，

∠B=∠F′ ∠BGE′=∠F′GC BE′=CF′

，
∴△BGE′≌△CGF′（AAS），
∴F′G=BG，
∴CG+F′G+CF′=CG+BG+CF=CB+

1

2

CB=2+1=3，
即△GF′C的周長(zhǎng)是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是中考常見題型．