Question

已知△ABC，點E在直線AB上，點D在直線AC上，且BD=AE，過點E作EG∥BC交直線BD于點G，交直線AC于點F，且BG=AB，∠ABG=60°．
（1）當(dāng)點D在線段AC上時如圖①，求證：EG=BC+DF；
（2）當(dāng)點D在線段AC延長線上時，如圖②；當(dāng)點D在線段CA延長線上時，如圖③，請分別寫出線段EG、BC、DF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．
（3）若∠BAC=30°，AB=3

3

，則DF=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在AC上找到H點使得BH=BC，連接AG，易證△ABG為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可證明△ABD≌△GAE，可得EG=AD，再根據(jù)△BCH為等邊三角形，即可證明△ABH≌△GAF，可得AF=BC，即可解題；
（2）①延長DA至H使得BH=BD，連接AG，根據(jù)△ABG是等邊三角形可證明△DBA≌△EAG，可得AD=EG，∠DAB=∠AGE，再證明△CBH≌△FAE，可得BC=AF，即可解題；
②連接AG，根據(jù)△ABG是等邊三角形，可證明△DBA≌△EAG，可得AD=EG，∠DAB=∠AGE，即可證明△DCB∽△DGA和△EAF∽△AGE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比例相等可得AF=BC，即可解題；
（3）根據(jù)∠BAC=30°畫出圖形，易證∠D=30°，可得BD=2AC，再根據(jù)AF=BC，即可求得DF的長，即可解題．

解答：（1）證明：在AC上找到H點使得BH=BC，連接AG，

∵AB=BG，∠ABD=60°，
∴△ABG為等邊三角形，
∴∠BAG=60°，AG=AB，
在△ABD和△GAE中，

BD=AE ∠ABD=∠EAG=60° AB=AG

，
∴△ABD≌△GAE，（SAS）
∴∠AGE=∠BAD，EG=AD，∠AEG=∠ADB，
∵∠AEG+∠AFE+∠EAF=180°，∠ADB+∠ABD+∠EAF=180°，
∴∠AFE=∠ABD=60°，
∵EG∥BC，
∴∠C=60°，
∵BH=BC，
∴△BCH為等邊三角形，
∴BH=BC，∠AHB=120°，
在△ABH和△GAF中，

∠AFG=∠BHA ∠AGE=∠BAD AG=AB

，
∴△ABH≌△GAF，（AAS）
∴AF=BH，
∴AF=BC，
∵AD=AF+DF，
∴EG=BC+DF；
（2）證明：①延長DA至H使得BH=BD，連接AG，

∵BH=BD，
∴∠H=∠D，AE=BH，
∵∠ABG=60°，BG=AB，
∴△ABG是等邊三角形，
∴AB=AG，∠ABG=∠BAG=60°，
在△BDA和△AEG中，

AB=AG ∠ABG=∠BAG BD=AE

，
∴△BDA≌△AEG（SAS），
∴EG=AD，∠E=∠D，
∴∠H=∠D，
∵BC∥EF，
∴∠BCA=∠EFC，
在△CBH和△FAE中，

∠BCA=∠EFC ∠E=∠H AE=BH

，
∴△CBH≌△FAE（AAS），
∴BC=AF，
∵AD=AF+DF，
∴EG=BC+DF；
②連接AG，

∵∠ABG=60°，BG=AB，
∴△ABG是等邊三角形，
∴AB=AG，∠ABG=∠BAG=60°，
∴∠DBA=∠EAG=120°，
在△DBA和△EAG中，

AB=AG ∠DBA=∠EAG BD=AE

，
∴△DBA≌△EAG，（SAS）
∴AD=EG，∠DAB=∠AGE，
∵∠CBA=∠E，∠E+∠AGE=60°，
∴∠DCB=∠CBA+∠DAB=∠E+∠AGE=∠BAG=60°，
∴△DCB∽△DGA，
∴

BC

AG

=

BD

AD

，
∵∠EAF=∠DAB，∠DAB=∠AGE，
∴∠EAF=∠AGE，
∴△EAF∽△AGE，
∴

AF

AG

=

AE

EG

，
∵BD=AE，AD=EG，
∴

BC

AG

=

AF

AG

，
∴AF=BC，
∵DF=AF+AD，
∴DF=BC+EG；
（3）解：根據(jù)∠BAC=30°畫出圖形，

∵∠AGE=∠BAC，∠BAC+∠D=60°，
∴∠CGF=90°，∠D=30°，
∵BC∥GF，∴∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=AC，BD=2BC=2AC，
∵AF=BC，
∴DF=AD+AF=AB+BD+AF=4AB=12

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△DBA≌△EAG是解題的關(guān)鍵．