Question

12．已知：如圖，點C是線段AB上的任意一點（點C與A、B點不重合），分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，AE與CD相交于點M，BD和CE相交于點N．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）求證：MN∥AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，就可以求出∠ACE=∠DCB=120°，由邊角邊就可以得出△ACE≌△DCB；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DB，∠EAC=∠BDC，推出△ACM≌△DCN（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得到CM=CN證得△CMN為等邊三角形，于是得到∠MNC=∠ECB=60°，根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠EAC=∠BDC，
∵∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠DCE=60°，
在△ACM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{AC=DC}\\{∠ACM=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，
∴△CMN為等邊三角形，
∴∠MNC=∠ECB=60°，
∴MN∥AB．

點評 本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行線的判定的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．