Question

18．閱讀理解：對于任意正實數(shù)a，b，$Q（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}≥0$，
∴$a-2\sqrt{ab}+b≥0$，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，當且僅當a=b時，等號成立．
結(jié)論：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則$a+b≥2\sqrt{p}$，
當且僅當a=b，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1）若x＞0，只有當x=$\sqrt{3}$時，$2x+\frac{6}{x}$ 有最小值4$\sqrt{3}$．
（2）探索應(yīng)用：如圖，已知A（-2，0），B（0，-3），點P為雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．
（3）已知x＞0，則自變量x為何值時，函數(shù)y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+25}$取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，當2x=$\frac{6}{x}$時，$2x+\frac{6}{x}$ 有最小值，進而求出即可；
（2）首先利用S_{四邊形ABCD}=S_△ACD +S_△ABC，再結(jié)合當$\frac{6}{x}$=$\frac{3}{2}$x時S_ABCD的面積最小，求出x的值，進而得出答案；
（3）首先設(shè)y′=$\frac{{x}^{2}-2x+25}{x}$=x-2+$\frac{25}{x}$，當x=$\frac{25}{x}$時y'_最小，進而得出x的值以及y的值．

解答 解：（1）當2x=$\frac{6}{x}$時，則x²=3，
解得x=±$\sqrt{3}$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴$2x+\frac{6}{x}$ 有最小值是4$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)點P的坐標為（x，$\frac{6}{x}$），
∵PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，
∴OC=x，OD=$\frac{6}{x}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×OD=$\frac{1}{2}$（x+2）×$\frac{6}{x}$=$\frac{3（x+2）}{x}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×OB=$\frac{1}{2}$（x+2）×3=$\frac{3}{2}$（x+2），
S_{四邊形ABCD}=S_△ACD +S_△ABC=$\frac{3（x+2）}{x}$+$\frac{3}{2}$（x+2）=$\frac{6}{x}$+$\frac{3x}{2}$+6，
當$\frac{6}{x}$=$\frac{3}{2}$x時S_ABCD的面積最小，解得x₁=2，x₂=-2（舍去），
∴當x=2時，S_{四邊形ABCD}=3+3+6=12，
∴四邊形ABCD面積的最小值為12，
∵OD=$\frac{6}{2}$=3=OB，OC=2=OA，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）設(shè)y′=$\frac{{x}^{2}-2x+25}{x}$=x-2+$\frac{25}{x}$，
當x=$\frac{25}{x}$時y'_最小，
∴當x=5時，y'_最小=8，
∴當x=5時，y最大=$\frac{1}{8}$．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及四邊形面積公式和函數(shù)最值求法等知識，利用已知得出當$\frac{3x}{2}$=$\frac{6}{x}$時S_ABCD的面積最小進而得出x的值是解題關(guān)鍵．