Question

已知二次函數(shù)y=x²-2（m+1）x+m²+5=0的圖象過(guò)（a，0）和（b，0）．
（1）若（a-1）（b-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC一邊長(zhǎng)為7，若a、b旳值恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩根分別為a、b，則a+b=2（m+1），ab=m²+5，再由（a-1）（b-1）=28變形得到ab-（a+b）+1=28，則m²+5-2（m+1）+1=28，解得m₁=6，m₂=-4，然后根據(jù)判別式的意義確定m的值；
（2）先計(jì)算方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的判別式，得到△=8m-16，當(dāng)a=b，即△=8m+16=0，解得m=2，a+b=6，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可判斷m=2不合題意舍去；當(dāng)△＞0，即m＞2時(shí)，把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得m²-28m+40=0，解得m=

28±4 39

2

=14±2

39

，根據(jù)判別式的意義得m=14+2

39

，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=2（m+1）=30+4

39

，于是得到這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=31+4

39

．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-2（m+1）x+m²+5的圖象過(guò)（a，0）和（b，0），
∴方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩根分別為a、b，
∴a+b=2（m+1），ab=m²+5，
∵（a-1）（b-1）=28，即ab-（a+b）+1=28，
∴m²+5-2（m+1）+1=28，
整理得m²-2m-24=0，解得m₁=6，m₂=-4，
當(dāng)m=6時(shí)，x²-14x+41=0，△=14²-4×41=32＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；
當(dāng)m=-4時(shí)，x²+6x+21=0，△=6²-4×21＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
∴m的值為6；
（2）x²-2（m+1）x+m²+5=0，
△=4（m+1）²-4（m²+5）=8m-16，
當(dāng)a=b，即△=8m+16=0，解得m=2，
∴a+b=2（m+1）=6，
∵a+b＜7，所以m=2舍去；
當(dāng)△＞0，即8m-16＞0，m＞2時(shí)，把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得49-14（2m+1）+m²+5=0，
整理得m²-28m+40=0，
解得m=

28±4 39

2

=14±2

39

，
所以m=14+2

39

，
∴a+b=2（m+1）=30+4

39

，
∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=7+30+4

39

=31+4

39

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和根與系數(shù)的關(guān)系．