Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE可能為正方形；③DE長度的最小值為4；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為8．其中正確的結論是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：探究型

分析：連結CF，如圖，根據等腰直角△ABC的性質得CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，則可根據“SAS”判斷△ADF≌△CEF，得到DF=EF，∠3=∠2，由∠3+∠CFD=90°可得∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，所以△DEF為等腰直角三角形，于是可對①進行判斷；由于當FD⊥AC時，F(xiàn)E⊥BC，則AD=CE=

1

2

AC，此時四邊形CDFE為正方形，于是可對②進行判斷；利用△DEF為等腰直角三角形得到DE=

2

FD，利用垂線段最短，當FD⊥AC時，F(xiàn)D的長度最小，此時FD=

1

2

AC=4，所以DE長度的最小值為4

2

，則可對③進行判斷；利用S_△ADF=S_△CEF可得四邊形CDFE的面積=S_△ACF=

1

2

S_△ABC=16，于是可對④進行判斷；由于S_△CDE=S_{四邊形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，F(xiàn)D的長度的最小值為4，則S_△DEF的最小值值為8，所以△CDE面積的最大值為8，則可對⑤進行判斷．

解答：解：連結CF，如圖，
∵△ABC為直角三角形，
∴∠A=45°，
∵F是等腰直角△ABC斜邊上的中點，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，
在△ADF和△CEF中，

AD=CE ∠A=∠1 AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠3=∠2，
∵∠3+∠CFD=90°，
∴∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形，所以①正確；
當FD⊥AC時，F(xiàn)E⊥BC，則AD=CE=

1

2

AC，此時四邊形CDFE為正方形，所以②正確；
∵△DEF為等腰直角三角形，
∴DE=

2

FD，
當FD⊥AC時，F(xiàn)D的長度最小，此時FD=

1

2

AC=4，
∴DE長度的最小值為4

2

，所以③錯誤；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△ADF=S_△CEF，
∴四邊形CDFE的面積=S_△ACF=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×8×8=16，所以④正確；
∵S_△CDE=S_{四邊形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，
而當FD⊥AC時，F(xiàn)D的長度最小，此時FD=

1

2

AC=4，
∴S_△DEF的最小值為

1

2

×4×4=8，
∴△CDE面積的最大值為16-8=8，所以⑤正確．
故答案為①②④⑤．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．也考查了等腰直角三角形的判斷與性質和三角形面積公式．