Question

1．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．點E與點B在AC的同側(cè)，且AE⊥AC．
（1）如圖1，點E不與點A重合，連結(jié)CE交AB于點P．設(shè)AE=x，AP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）是否存在點E，使△PAE與△ABC相似，若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，過點B作BD⊥AE，垂足為D．將以點E為圓心，ED為半徑的圓記為⊙E．若點C到⊙E上點的距離的最小值為8，求⊙E的半徑．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥AC，∠ACB=90°，可得AE∥BC，然后由平行線分線段成比例定理，求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）由題意易得要使△PAE與△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，然后由△ABC∽△EAC，求得答案；
（3）易得點C必在⊙E外部，此時點C到⊙E上點的距離的最小值為CE-DE．然后分別從當(dāng)點E在線段AD上時與當(dāng)點E在線段AD延長線上時，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，
∴AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AP}{BP}$，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∵AE=x，AP=y，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{y}{10-y}$，
∴y=$\frac{10x}{x+6}$（x＞0）；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE與∠PEA都是銳角，
∴要使△PAE與△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，
此時△ABC∽△EAC，則$\frac{AE}{8}$=$\frac{8}{6}$，
∴AE=$\frac{32}{3}$．
故存在點E，使△ABC∽△EAP，此時AE=$\frac{32}{3}$；

（3）∵點C必在⊙E外部，
∴此時點C到⊙E上點的距離的最小值為CE-DE．  
設(shè)AE=x．
①當(dāng)點E在線段AD上時，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
∴x²+8²=（14-x）²，
解得：x=$\frac{33}{7}$，
即⊙E的半徑為$\frac{9}{7}$．
②當(dāng)點E在線段AD延長線上時，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
∴x²+8²=（x+2）²，
解得：x=15，
即⊙E的半徑為9．
∴⊙E的半徑為9或$\frac{9}{7}$．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．