Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以直角邊BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD，∠CAB的角平分線交CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)P．
（1）求證：$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$；
（2）若tan∠CAB=$\frac{4}{3}$，求sin∠CAP的值；
（3）連接PC、PB，若∠ABC=30°，AB=2$\sqrt{3}$，求△PCF的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用直角三角形的性質(zhì)和同角的余角相等判斷出，∠ACD=∠ABC，進(jìn)而得出△ACE∽△ABF即可得出$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AF}$，再用角平分線定理得出$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，結(jié)論得證．
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，設(shè)出AC=3x，得出BC，AC，借助（1）的結(jié)論求出CF，再根據(jù)勾股定理求出AF即可得出結(jié)論；
（3）利用直角三角形的兩銳角互余得出，∠BAC=60°，CAP=30°，∠FCM=30°，∠FON=30°再用含30°的直角三角形的三邊關(guān)系，依次求出AC=$\sqrt{3}$，CF=1，OF=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，再用勾股定理即可求出PN=$\frac{\sqrt{33}}{4}$，最后用三角形的面積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵BC是⊙O直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠CAB的角平分線交CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，
∴∠CAE=∠BAF，
∴△ACE∽△ABF，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AF}$，
∵AF是∠BAC的角平分線，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$；
（2）在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AC=3x，∴BC=4x，
根據(jù)勾股定理得，AB=5x，
由（1）知，$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{3x}{5x}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{3}{5}$，
∵CF+BF=BC=4x，
∴CF=$\frac{3}{2}$x，BF=$\frac{5}{2}$x，
在Rt△CAF中，CF=$\frac{3}{2}$x，AC=3x，
根據(jù)勾股定理得，AF=$\sqrt{A{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$x，
∴sin∠CAP=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{3\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$AC=3，∠BAC=60°，
∴OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∵AF是∠BAC的平分線，
∴∠CAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
過點(diǎn)C作CM⊥AP于M，過O作ON⊥AP于N，連接OP，
在Rt△ACM中，CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠ACM=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FCM=∠ACB-∠ACM=30°，
在Rt△CMF中，∠FCM=30°，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CFM=90°-∠FCM=60°，CF=1，
∴OF=OC-CF=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OFN中，∠FON=90°-∠OFN=30°，OF=$\frac{1}{2}$，
∴FN=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{4}$，
∴ON=$\sqrt{3}$FN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
在Rt△ONP中，OP=OC=$\frac{3}{2}$，ON=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴PN=$\sqrt{O{P}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{4}$，
∴PF=FN+PN=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{33}}{4}$，
∴S_△PCF=$\frac{1}{2}$PF•CM=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{33}}{4}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{11}}{16}$．
∴△PCF的面積是$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{11}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了角平分線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是含30°的直角三角形的靈活運(yùn)用，借助中間比是判斷四段線段成比例常用的方法，是一道中等難道的題目．