Question

8．如圖，直線y=kx+c與拋物線y=ax²+bx+c的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的D點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線x=1，且OA=OD．直線y=kx+c與x軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)）．則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
①abc＞0；②3a+b＞0；③-1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．由拋物線的開(kāi)口判斷a的符號(hào)；由對(duì)稱軸判斷b及b與2a的關(guān)系；還可由圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)判斷．

解答 解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0．
∵拋物線對(duì)稱軸是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0．
∴①abc＞0錯(cuò)誤；
②3a+b＞0正確；
∵直線y=kx+c經(jīng)過(guò)一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（c，0）．
直線y=kx+c當(dāng)x=c時(shí)，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正確；
∵直線y=kx+c與拋物線y=ax²+bx+c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
∴ax²+bx+c=kx+c，
得x₁=0，${x}_{2}=\frac{k-b}{a}$，
由圖象知x₂＞1，
∴$\frac{k-b}{a}＞1$，
∴k＞a+b
∴④k＞a+b正確；
∵$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{c（ac+b+1）=0}\end{array}\right.$，
∴2a-ac=1．
∴ac=2a-1，
∵-1＜k＜0，
∴⑤令ax²+bx+c=kx+c，
∴ax+b=k，
∵b=-2a，
∴x=$\frac{k+2a}{a}$，
∵交點(diǎn)在B（2-c，0）右邊，
∴$\frac{k-2a}{a}$＞2-c，
∴k+2a＞2a-ac，
∴ac+k＞0，故正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用圖象判斷系數(shù)的符號(hào)以及一次函數(shù)的性質(zhì)．