Question

6．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，10），以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫弧OB．
（1）以O(shè)A為直徑的半圓M與弧OB交于點(diǎn)G，連接CG．
①判斷CG與⊙M的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②求G的坐標(biāo)．
（2）設(shè)E（a，b）是$\widehat{OB}$上一動點(diǎn)，且a、b是方程x²-8x+k=0的兩根，求k的值．

Answer 1

分析 （1）①連接OG，CM，MG，它們相交于點(diǎn)H，如圖1，證明△MCG≌△MCO可得到∠MGC=∠MOC=90°，則根據(jù)切線的判定定理可判定CG為⊙O的切線；
②作GN⊥OA于N，如圖1，先證明CM垂直平分OG，再理由勾股定理計(jì)算出CM=5$\sqrt{5}$，接著理由面積法計(jì)算出OH=2$\sqrt{5}$，然后證明Rt△NOG∽Rt△OCM，利用相似比計(jì)算出ON和GN，從而得到G點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作EF⊥OC于F，如圖2，先利用勾股定理得到a²+（10-b）²=10²，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=8，ab=k，則可消去a得到關(guān)于b的方程（8-b）²+（10-b）²=10²，解的滿足條件的b的值為b=2，所以a=6，然后計(jì)算k的值．

解答 解：（1）①CG與⊙O相切．理由如下：
連接OG，CM，MG，它們相交于點(diǎn)H，如圖1，
在△MCG和△MCO中
$\left\{\begin{array}{l}{MG=MO}\\{MC=MC}\\{OC=GC}\end{array}\right.$，
∴△MCG≌△MCO，
∴∠MGC=∠MOC=90°，
∴MG⊥CG，
∴CG為⊙O的切線；
②作GN⊥OA于N，如圖1，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，10），
∴CB=CO=OA=10，
∵CO=CG，MO=MG，
∴CM垂直平分OG，
在Rt△OCM中，CM=$\sqrt{O{M}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•OH•CM=$\frac{1}{2}$•OM•OC，
∴OH=$\frac{5×10}{5\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OG=2OH=4$\sqrt{5}$，
∵∠MOH+∠COH=90°，∠OCH+∠COH=90°，
∴∠MOH=∠OCH，
∴Rt△NOG∽Rt△OCM，
∴$\frac{ON}{OC}$=$\frac{GN}{OM}$=$\frac{OG}{CM}$，即$\frac{ON}{10}$=$\frac{GN}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$，
∴ON=8，GN=4，
∴G（8，4）；
（2）作EF⊥OC于F，如圖2，
∵E（a，b），
∴EF=a，OF=b，
∴CF=OC-OF=10-b，
在Rt△CEF中，a²+（10-b）²=10²，
∵a、b是方程x²-8x+k=0的兩根，
∴a+b=8，ab=k，
∴a=8-b，
∴（8-b）²+（10-b）²=10²，
整理得b²-18b+32=0，解得b₁=2，b₂=12（舍去），
∴b=2，a=6，
∴k=ab=2×6=12．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定方法和正方形的性質(zhì)；會應(yīng)用三角形全等證明角相等的問題；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能運(yùn)用相似比和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．