Question

3．設(shè)x₁，x₂是方程2x²-$\sqrt{6}$x-1=0的兩根，不解方程，求下列各式的值．
（1）${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$；（2）（x₁-x₂）²．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出“x₁+x₂=-$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-$\frac{1}{2}$”．
（1）利用完全平方公式，將${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$轉(zhuǎn)化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）利用完全平方公式，將$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$轉(zhuǎn)化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-$\sqrt{6}$x-1=0的兩根，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-$\frac{1}{2}$．
（1）${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$-2×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$；
（2）$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂=$（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$-4×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是：（1）將原代數(shù)式轉(zhuǎn)化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂；（2）將原代數(shù)式轉(zhuǎn)化成$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積，再利用完全平方公式將原代數(shù)式轉(zhuǎn)化成只含兩根之和與兩根之積的代數(shù)式是關(guān)鍵．