Question

15．如圖，已知直線y=-x+3的圖象分別交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)D，頂點(diǎn)為C．
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求tan∠BAC；
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥y軸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CBA=90°，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可；
（3）分△BPD∽△ABC和△BDP∽△ABC兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

解答 解（1）把y=0代入得x=3，
∴A（3，0），
把x=0代入得y=3，
∴B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得：b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴C（1，4），
把y=0代入y=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴D（-1，0）；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，
則BE=4-3=1，CE=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，∠EBC=∠ECB=45°，
又∵OB=OA=3，
∴AB=3$\sqrt{2}$，∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠CBA=180°-45°-45°=90°，
又∵BC$\sqrt{2}$=，AB=3$\sqrt{2}$
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$；
（3）存在P（0，0），（0，-$\frac{1}{3}$），
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)，∠BPD=90°，$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，∠BPD=∠ABC
則△BPD∽△ABC；
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，AB=3$\sqrt{2}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BOD中，OD=1，OB=3，
∴BD=$\sqrt{10}$，
當(dāng)PD⊥BD時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
當(dāng)△BDP∽△ABC時(shí)，$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BP}{AC}$，即$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-y}{2\sqrt{5}}$，
解得y=-$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{1}{3}$），
∴當(dāng)P的坐標(biāo)為（0，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）時(shí)，以P、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用以及相似三角形的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般方法、熟記相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．