Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P和圖形W，如果線段OP與圖形W無(wú)公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為關(guān)于圖形W的“陽(yáng)光點(diǎn)”；如果線段OP與圖形W有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為關(guān)于圖形W的“陰影點(diǎn)”．
（1）如圖1，已知點(diǎn)A（1，3），B（1，1），連接AB．
①在P₁（1，4），P₂（1，2），P₃（2，3），P₄（2，1）這四個(gè)點(diǎn)中，關(guān)于線段AB的“陽(yáng)光點(diǎn)”是P₁，P₄；
②線段A₁B₁∥AB，A₁B₁上的所有點(diǎn)都是關(guān)于線段AB的“陰影點(diǎn)”，且當(dāng)線段A₁B₁向上或向下平移時(shí)，都會(huì)有A₁B₁上的點(diǎn)成為關(guān)于線段AB的“陽(yáng)光點(diǎn)”，若，A₁B₁的長(zhǎng)為4，且點(diǎn)A₁在B₁的上方，則點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，6）．
（2）如圖2，已知點(diǎn)C（1，$\sqrt{3}$），⊙C與y軸相切于點(diǎn)D，若⊙E的半徑為$\frac{3}{2}$，圓心E在直線l：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$上，且⊙E的所有點(diǎn)都是關(guān)于⊙C的“陰影點(diǎn)”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）如圖3，⊙M的半徑為3，點(diǎn)M到原點(diǎn)的結(jié)距離為5，點(diǎn)N是⊙M上到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，點(diǎn)Q和T是坐標(biāo)平面的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且⊙M上的所有點(diǎn)都是關(guān)于△NQT的“陰影點(diǎn)”直接寫出△NQT的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)新定義直接判斷，②由A₁B₁∥AB得到$\frac{OA}{O{A}_{1}}=\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，求出即可；
（2）分兩種情況計(jì)算①當(dāng)⊙E與y軸相切時(shí)，②當(dāng)⊙E與直線OI相切時(shí)，求出角，線段用銳角三角函數(shù)求解即可；
（3）先判斷出只有當(dāng)N'TQN''共線時(shí)，l取得最小值N'N''，Q，T的位置，用△OGM∽△OHQ，得出比例式計(jì)算出HQ，最后用勾股定理求解即可．

解答 解（1）①線段OP與圖形W無(wú)公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為關(guān)于圖形W的“陽(yáng)光點(diǎn)”，
∴OP₁與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)，OP₂與線段AB有公共點(diǎn)（1，2），OP₃與線段AB有公共點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），OP₄與線段AB沒(méi)公共點(diǎn)，
∴關(guān)于線段AB的“陽(yáng)光點(diǎn)”是P₁，P₄，
故答案為P₁，P₄
②∵A₁B₁∥AB，
∴$\frac{OA}{O{A}_{1}}=\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)A₁在B₁的上方
∴A₁（2，6），
故答案為（2，6），
（2）情況一：
當(dāng)⊙E與y軸相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接EF
∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)F，
∴EF⊥y軸
∵⊙E的半徑為$\frac{3}{2}$
∴EF=$\frac{3}{2}$
∴此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$
情況二：
設(shè)直線l分別與x軸，y軸交于點(diǎn)G，H，連接CD，CO，過(guò)點(diǎn)O作⊙C的另一條切線OI，切點(diǎn)為I，直線OI與直線l交于點(diǎn)J，
當(dāng)⊙E與直線OI相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K
∵⊙C與y軸相切于點(diǎn)D，
∴CD⊥y軸
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)（1，$\sqrt{3}$） 
∴tan∠COD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠COD=30°，
∵⊙C與OI相切于點(diǎn)I
∴∠COI=∠COD=30°
∴∠HOJ=∠COI+∠COD=90°
∵直線l：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$分別與x軸，y軸交于點(diǎn)G，H，
∴點(diǎn) G（4，0），H（0，4$\sqrt{3}$）
∴tan∠OHG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠OHG=30°
∴∠OJH=180°-∠HOJ-∠OHJ=90°
∴HG⊥OJ
∵⊙E與直線OJ相切，
∴切點(diǎn)為點(diǎn)J
∴EJ=$\frac{3}{2}$
∵在Rt△OHJ中，HJ=OH×cos∠OHJ=6
∴HE=HJ-EJ=$\frac{9}{2}$
∴KH=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{9}{4}$
∴此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為$\frac{9}{4}$
可知，點(diǎn)E在直線l上，從情況一中的位置運(yùn)動(dòng)到情況二中的位置時(shí)，都滿足題意，所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍 $\frac{3}{2}$≤x_E≤$\frac{9}{4}$

（3）如圖：
連接OM，交圓于N，OA與OB分別于⊙M相切，
則N點(diǎn)在OA與OB上對(duì)稱點(diǎn)分別為N'與N''；連接N'N''交OA于T，交OB于Q，交OM于C，
△NTQ的周長(zhǎng)l=TN+TQ+QN=TN'+TQ+QN''；
只有當(dāng)N'、T、Q、N''共線時(shí)，l取得最小值N'N''，
此時(shí)的T與Q即為所求；
由輔助線知，∠MHO=∠NDO=90°，NN″=2CN″，
sin∠MOH=$\frac{MH}{OM}$=$\frac{DN}{ON}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{DN}{2}$，
∴DN=$\frac{6}{5}$，
∴NN″=2DN=$\frac{12}{5}$，

∵∠N''+∠DQN''=90°，
∠CQO+∠COQ=90°，
∴∠N″=∠MOH，
∴sin∠N″=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠N″=$\frac{4}{5}$=$\frac{CN″}{NN″}$，
∴CN″=$\frac{48}{25}$，
∴N'N″=2CN″=$\frac{96}{25}$，
∴△NQT的周長(zhǎng)最小值l=N'N″=$\frac{96}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了新定義的理解，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓的切線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是理解新定義，難點(diǎn)是確定△NTQ周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)Q，T的位置．