Question

17．如圖1，點O為正方形ABCD的中心．
（1）將線段OE繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點E的對應(yīng)點為點F，連結(jié)EF，AE，BF，請依題意補全圖1（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）根據(jù)圖1中補全的圖形，猜想并證明AE與BF的關(guān)系；
（3）如圖2，點G是OA中點，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點，∠EGF=90°，AB=8，GE=4，△EGF繞G點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角度，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中BH的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）延長EA交OF于點H，交BF于點G，利用正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△EOA≌△FOB，得到AE=BF．根據(jù)等邊對等角得到∠OEA=∠OFB，由∠OEA+∠OHA=90°，所以∠OFB+∠FHG=90°，進而得到AE⊥BF．
（3）如圖3，當(dāng)B，G，H三點在一條直線上時，BH的值最大，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AG=OG=$\frac{1}{2}$AO=2$\sqrt{2}$，根據(jù)勾股定理得到BG=$\sqrt{B{O}^{2}+O{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到GH=2$\sqrt{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1所示：


（2）如圖2，延長EA交OF于點H，交BF于點G，

∵O為正方形ABCD的中心
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90角得到OF，
∴OE=OF
∴∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠EOA=∠FOB，
在△EOA和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{∠EOA=∠FOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB，
∴AE=BF．
∴∠OEA=∠OFB，
∵∠OEA+∠OHA=90°，
∴∠OFB+∠FHG=90°，
∴AE⊥BF；

（3）如圖3，當(dāng)B，G，H三點在一條直線上時，BH的值最大，

∵四邊形ABCD是正方形，AB=8，
∴AO=BO=4$\sqrt{2}$，
∵點G是OA中點，
∴AG=OG=$\frac{1}{2}$AO=2$\sqrt{2}$，
∴BG=$\sqrt{B{O}^{2}+O{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點，
∵EG=4，
∴EF=4$\sqrt{2}$，
∴GH$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，
∴BH=BG+GH=2$\sqrt{10}$+2$\sqrt{2}$，
∴BH的最大值是2$\sqrt{10}$+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，作出輔助線，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)解決問題．