Question

10．求出能被11整除，且所得的商等于它的各個數(shù)碼的平方和的所有三位數(shù)．

Answer 1

分析 先設(shè)出滿足條件的三位數(shù)，由于此三位數(shù)是11的倍數(shù)，故a-b+c=0或a-b+c=11，①當a-b+c=0時，根據(jù)題意列出方程組即可求出a、b、c的值；②當a-b+c=11時，根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程，再根據(jù)c為奇數(shù)求出符合條件的a、b、c的值即可．

解答 解：設(shè)滿足條件的三位數(shù)為$\overline{abc}$，
①若$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0（1）}\\{100a+10b+c=11（{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}）（2）}\end{array}\right.$，
消去b得a²+a（c-5）+（c²-$\frac{c}{3}$）=0（3），
于是c為偶數(shù)，把c=0，2，4，6，8代入（3）試驗，僅當c=0時，a為正整數(shù)，故當a-b+c=0時，a=5，b=5，c=0．
②若a-b+c=11（4），
100a+10b+c=11（a²+b²+c²）（5），
由（4）（5）消去b得，2a²+2c²+2ac-32a-23c+131=0（6），
易知c為奇數(shù)，把c=1，5，7，9代入（6）進行試驗，僅當c=3時，a為正整數(shù)，故當a-b+c=11時，$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故符合條件的三位數(shù)是550，803．
故答案為：550，803．

點評 本題考查的是數(shù)的整除性問題，根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運用．