Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N．
（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到（圖3）的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想．
（3）若正方形的邊長為4，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到DC邊的中點(diǎn)處時(shí)，求BM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點(diǎn)共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN；
（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似；
（3）根據(jù)（1）可知，BM+DN=MN，設(shè) MN=x，則 BM=x-2，則CM=4-（x-2）=6-x，在Rt△CMN中，利用MN²=CM²+CN²，求出即可．

解答：解：（1）BM+DN=MN成立．
理由：如圖2，把△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
得到△ABE，則可證得E、B、M三點(diǎn)共線（圖形畫正確）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
在△AEM與△ANM中，

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵M(jìn)E=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．
理由：如圖3，在線段DN上截取DQ=BM，
在△AMN和△AQN中，

AQ=AM ∠QAN=∠MAN AN=AN

∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．

（3）如圖1，
∵正方形的邊長為4，DN=2，
∴CN=2．
根據(jù)（1）可知，BM+DN=MN，
設(shè) MN=x，則 BM=x-2，
∴CM=4-（x-2）=6-x．
在Rt△CMN中，
∵M(jìn)N²=CM²+CN²，
∴x²=（6-x）²+2²．
解得 x=

10

3

．
∴MB=

10

3

-2=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．也可運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)構(gòu)造全等三角形．