Question

8．定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡（滿足條件的所有點(diǎn)所組成的圖形）叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
（1）已知拋物線的焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4a}$），準(zhǔn)線l：$y=-\frac{1}{4a}$，求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線的解析式為：y=x²-n²，點(diǎn)A（0，$\frac{1}{4}-{n^2}$）（n≠0），B（1，2-n²），P為拋物線上一點(diǎn)，求PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若（2）中拋物線的頂點(diǎn)為C，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是D、E，過(guò)C、D、E三點(diǎn)作⊙M，⊙M上是否存在定點(diǎn)N？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)并指出這樣的定點(diǎn)N有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)新定義即可求出拋物線的解析式；
（2）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，根據(jù)PA+PH最短時(shí)，P、B、A共線，據(jù)此求出PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n²-m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|²+m²=（n²-m）²，進(jìn)而求出ON是定值，據(jù)此作出判斷．

解答 解：（1）設(shè)拋物線上有一點(diǎn)（x，y），
由定義知：x²+（y-$\frac{1}{4a}$）²=|y+$\frac{1}{4a}$|²，
解得y=ax²；
（2）如圖1，由（1）得拋物線y=x²的焦點(diǎn)為（0，$\frac{1}{4}$），準(zhǔn)線為y=-$\frac{1}{4}$，
∴y=x²-n²由y=x²向下平移n²個(gè)單位所得，
∴其焦點(diǎn)為A（0，$\frac{1}{4}$-n²），準(zhǔn)線為y=-$\frac{1}{4}$-n²，
由定義知P為拋物線上的點(diǎn)，則PA=PH，
∴PA+PH最短為P、B、A共線，此時(shí)P在P′處，
∵x=1，
∴y=1-n²＜2-n²，
∴點(diǎn)B在拋物線內(nèi)，
∴BI=y_B-y_I=2-n²-（-$\frac{1}{4}$-n²）=$\frac{9}{4}$，
∴PA+PB的最小值為$\frac{9}{4}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1-n²）；
（3）由（2）知E（|n|，0），C（0，n²），
設(shè)OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n²-m，
在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|²+m²=（n²-m）²，
解得m=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
則QC=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$=QN，
∴ON=QN-m=1，
即點(diǎn)N（0，1），
故AM過(guò)定點(diǎn)N（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識(shí)，此題涉及到求拋物線解析式、平移的知識(shí)、點(diǎn)的共線、勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是新定義，拋物線焦點(diǎn)、拋物線的準(zhǔn)線等知識(shí)，此題難度不大．