Question

如圖，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形，A、B、C三點(diǎn)都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）若D（2，3），請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為2：1；
（2）求∠D的正弦值；
（3）若△ABC外接圓的圓心為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—相似變換,三角形的外接圓與外心

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出DE=2AB，EF=2BC，DF=2AC的三角形即可；
（2）作FG⊥DE于G，在Rt△DFG中利用正弦函數(shù)的定義即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)“三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等”列出等式，化簡(jiǎn)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如下圖所示，△DEF即為所求；


（2）如圖，作FG⊥DE于G，

∵在Rt△DFG中，F(xiàn)G=2，DG=6，
∴DF=

FG2+DG2

=

22+62

=2

10

，
∴sin∠D=

FG

DF

=

2

2 10

=

10

10

；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）；
∵△ABC外接圓的圓心為P，
∴PA=PB=PC，
∵A（1，8），B（3，8），C（4，7），
∴（1-x）²+（8-y）²=（3-x）²+（8-y）²=（4-x）²+（7-y）²，
化簡(jiǎn)后得x=2，y=6，
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）．
故答案為（2，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了作圖-相似變換，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，三角形的外接圓與外心，兩點(diǎn)間的距離公式，難度適中．