Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點(diǎn)F，設(shè)∠DAC，∠CEA的度數(shù)分別是α，β．
（1）用含α的代數(shù)式表示β，并直接寫(xiě)出α的取值范圍；
（2）連接OF與AC交于點(diǎn)O′，當(dāng)點(diǎn)O′是AC的中點(diǎn)時(shí)，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根據(jù)兩銳角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；
（2）連接OF交AC于O′，連接CF．只要證明四邊形AFCO是菱形，推出△AFO是等邊三角形即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）連接OC．
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAE=2α，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）．

（2）連接OF交AC于O′，連接CF．
∵AO′=CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四邊形AFCO是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCO是菱形，
∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠FAO=2α=60°，
∴α=30°，
∵2α+β=90°，
∴β=30°，
∴α=β=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、菱形的判定．等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．