Question

19．如圖1，在長為6厘米，寬為3厘米的矩形PQMN中，有兩張邊長分別為2厘米和1厘米的正方形紙片ABCD和EFGH，且BC在PQ上，EF在PN上，PB=1厘米，PF=$\frac{1}{2}$厘米．從初始時刻開始，紙片ABCD沿PQ以2厘米/秒的速度向右平移，同時紙片EFGH沿PN以1厘米/秒的速度向上平移，當C點與Q點重合時，兩張紙片同時停止移動，設(shè)平移時間為t秒時（如圖2），紙片ABCD掃過的面積為S₁，紙片EFGH掃過的面積為S₂，AP、PG、GA所圍成的圖形面積為S（這里規(guī)定線段面積為零，掃過的面積含紙片面積）．

解答下列問題：
（1）當t=$\frac{1}{2}$時，PA=PG+GA；（填“＞”或“＜”或“=”）
（2）求S與t之間的關(guān)系式；
（3）當t=$\frac{1}{2}$，且S₁+S₂=4S+5時，正方形紙片ABCD和EFGH均停止運動，此時有兩點R、T分別從點P和點Q出發(fā)，沿矩形MNPQ的邊逆時針方向運動，點R運動的速度為2厘米/秒，點T運動的速度為1厘米/秒，當點R追上點T時運動停止．若點R運動時間為x秒，當x為何值時，△RTD為等腰三角形？請直接寫出x的所有值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，PG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴PA=PG+GA．
（2）由（1）得當t=0.5時，G在AP上，那么可分G在△APB內(nèi)和△APB外兩種情況進行解答．
（3）按等量關(guān)系列出等式，根據(jù)t的取值范圍得到所求．

解答 解：（1）當t=$\frac{1}{2}$時，PG=$\sqrt{2}$，PA=2$\sqrt{2}$，此時PA=PG+GA
（2）如圖1，當0≤t≤0.5時，連接BG
S_△APG=S_△APB-S_△PGB-S_△AGB，
=$\frac{1}{2}$×2（2t+1）-$\frac{1}{2}$（2t+1）（t+0.5）-$\frac{1}{2}$×2×2t，
=-t²-t+$\frac{3}{4}$
②如圖2，當0.5＜t≤1.5時，過A作AK⊥PN于K，連接K
S_△APG=S_△APK-S_△PGK-S_△AGK
=$\frac{1}{2}$×2（2t+1）-$\frac{1}{2}$（2t+1）（1.5-t）-$\frac{1}{2}$×1×2
=t²+t-$\frac{3}{4}$
（3）存在
S₁=2（2t+2）=4t+4，S₂=t+1
若S₁+S₂=4S+5，
4t+4+t+1=4（t²+t-$\frac{3}{4}$）+5，即4t²-t-3=0
∴t₁=-$\frac{3}{4}$（舍去），
t₂=1；                                
即當t=1時，S₁+S₂=4S+5．
（3）∵紙片DEFG沿RS方向平移，
∴4≤x≤24．
如圖3，當CD=AC時，作CH⊥GD的延長線點H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-6-4=2，CH=（x+4）-（2x-4）=8-x，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=$\sqrt{64+36}$=10
在Rt△CHD中，由勾股定理，得
（8-x）²+2²=100，
解得：x₁=8+4
，x₂=8-4$\sqrt{6}$＜4（舍去）；
如圖4，當AD=AC時，作DH⊥PQ于點H
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DH=12-4=8，AH=（x+4+8）-（2x-4）=16-x，
在Rt△ADH中，由勾股定理，得
（16-x）²+8²=100，
解得：x₁=22，x₂=10；
如圖5，當AD=CD時，作DK⊥BC于BC延長線于點K，作DH⊥PQ于點H，
∴GR=2x-4，BQ=x+4，
∴DK=2x-4-（x+4）=x-8，KC=12-4-6=2，
AH=x+4+8-（2x-4）=16-x，DH=12-4=8．
∴（x-8）²+4=（16-x）²+64，
∴x=15$\frac{3}{4}$；
綜上所述：紙片DEFG沿RS方向平移，當x的值為：22，10，15$\frac{3}{4}$，8+4$\sqrt{6}$時，以A、C、D為頂點的三角形是等腰三角形．

點評 本題考查運動過程中面積的變化形式，圖形的旋轉(zhuǎn)、平移，勾股定理的應(yīng)用，分類討論思想．注意掃過的面積應(yīng)是原來正方形的面積+掃過矩形的面積．