Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，將△ABC沿對角線AC折疊，點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)P處，CP與AD交于點(diǎn)F，連接BP交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． AC=2AP
• B． △PBC是等邊三角形
• C． S_△BGC=3S_△AGP
• D． $\frac{PG}{CG}$=$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如圖，首先運(yùn)用勾股定理求出AC的長度，進(jìn)而求出∠ACB=30°，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)證明△BCP為等邊三角形；運(yùn)用射影定理求出線段CG、AG之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而證明選項(xiàng)A、B、C成立，選項(xiàng)D不成立．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°；由勾股定理得：
AC²=AB²+BC²，而AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴AC=2$\sqrt{3}$，AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠ACB=30°；由翻折變換的性質(zhì)得：
BP⊥AC，∠ACB=∠ACP=30°，
BC=PC，AB=AP，BG=PG，
∴GC=$\sqrt{3}$BG=$\sqrt{3}$PG，∠BCP=60°，AC=2AP，
∴△BCP為等邊三角形，
故選項(xiàng)A、B成立，選項(xiàng)D不成立；
由射影定理得：BG²=CG•AG，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BG，CG=3AG，
∴S_△BCG=3S_△ABG；由題意得：
S_△ABG=S_△AGP，
∴S_△BGC=3S_△AGP，
故選項(xiàng)C正確；
故答案為D．

點(diǎn)評 該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、射影定理、三角形的面積公式等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；
解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、射影定理等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．