Question

（1）如圖1，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，試證：∠P=90°+

1

2

∠A；
（2）如圖2，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的平分線的交點(diǎn)，那么（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，那么（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不需說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可證明；、
（2）利用三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義即可求解；
（3）利用三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)即可證得．

解答：（1）證明：∵P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）
∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
∴∠P=90°+

1

2

∠A；

（2）不成立．
解：∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）
∠P=∠PCE-∠PBC
∴2∠P=∠A

（3）不成立．
解：∵P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，∠P+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-

1

2

（∠FBC+∠ECB）
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-

1

2

（∠A+180°）
=90°-

1

2

∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．