Question

7．已知關于x的一元二次方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：該方程有兩個實數(shù)根；
（2）如果拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于A、B兩個整數(shù)點（點A在點B左側(cè)），且m為正整數(shù)，求此拋物線的表達式；
（3）在（2）的條件下，拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與y軸交于點C，點B關于y軸的對稱點為D，設此拋物線在-3≤x≤-$\frac{1}{2}$之間的部分為圖象G，如果圖象G向右平移n（n＞0）個單位長度后與直線CD有公共點，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出根的判別式△，判斷△的取值范圍，即可得證；
（2）根據(jù)求根公式表示出兩根，由題意，求出m的值，可得拋物線的解析式；
（3）點求出點A，B，C，D的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，設平移后，點A，E的對應點分別為A′（-3+n，0），E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），根據(jù)點在直線上，求出取值范圍即可．

解答 （1）證明：由根的判別式，可得：△=（3m+1）²-4×m×3=（3m-1）²，
∵（3m-1）²≥0，
∴△≥0，
∴原方程有兩個實數(shù)根；
（2）解：令y=0，那么mx²+（3m+1）x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3；
（3）如圖，
∵當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
∵當y=0時，x₁=-3，x₂=-1，
又∵點A在點B的左側(cè)，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∵點D與點B關于y軸對稱，
∴D（1，0），
設直線CD的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線CD的表達式為：y=-3x+3，
又∵當x=-$\frac{1}{2}$時，y=$（-\frac{1}{2}）^{2}+4×（-\frac{1}{2}）+3=\frac{5}{4}$，
∴點E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∴平移后，點A，E的對應點分別為A′（-3+n，0），E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），
當直線y=-3x+3經(jīng)過點A′（-3+n，0）時，得：-3（-3+n）+3=0，解得：n=4，
當直線y=-3x+3經(jīng)過點E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），時，得：-3（-$\frac{1}{2}$+n）+3=$\frac{5}{4}$，解得：n=$\frac{13}{12}$，
∴n的取值范圍是$\frac{13}{12}$≤n≤4．

點評 本題主要考查一元二次方程的解法，拋物線與x軸的交點及二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟知拋物線與x軸的交點坐標的橫坐標即相應的一元二次方程的解是解決此題的關鍵．