Question

3．在矩形ABCD中，有一個菱形BFDE（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，記它們的面積分別為S_矩形ABCD和S_菱形BEDF，若S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=$（2+\sqrt{3}）$：2，則下列四個結(jié)論：①AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2；②AE：BE=$\sqrt{3}$：2；③tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；④∠FBC=60°．正確的共有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 由矩形和菱形的面積關(guān)系得出AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2，①正確；AE：BE=$\sqrt{3}$：2，②正確；由菱形的性質(zhì)得出DE∥BF，DE=BE，得出∠BFC=∠EDF，由三角函數(shù)求出∠ADE=60°，得出∠ADC=∠C=90°，求出∠EDF=30°，tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，③正確；∠BFC=30°，得出∠FBC=60°，④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示：
∵S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=$\frac{AB•BC}{BE•BC}$=$（2+\sqrt{3}）$：2，
∴AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2，①正確；
∴AE：BE=$\sqrt{3}$：2，②正確；
∵四邊形BFDE是菱形，
∴DE∥BF，DE=BE，
∴∠BFC=∠EDF，
∴sin∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴∠EDF=90°-60°=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，③正確；∠BFC=30°，
∴∠FBC=90°-30°=60°，④正確；
正確的共有4個；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)，由矩形和菱形的性質(zhì)得出AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2是解決問題的關(guān)鍵．