Question

13．如圖，在銳角△ABC中，以AB為直徑的半圓分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．
（1）求證：EF=AB•cosC；
（2）若S_△CEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC，求∠C的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接AF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠CEF=∠B，∠C=○C，推出△CEF∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{AB}$，根據(jù)圓周角定理得到∠AFB=90°，求得∠AFC=90°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到cosC=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AF，
∵∠CEF=∠B，∠C=○C，
∴△CEF∽△CBA，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{AB}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFC=90°，
∴cosC=$\frac{CF}{AC}$，
即cosC=$\frac{EF}{AB}$，
∴EF=AB•cosC；

（2）解：∵△CEF∽△CBA，S_△CEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosC=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠C=60°．

點評 本題主要考查對相似三角形的性質(zhì)，圓周角定理，鄰補角的定義，銳角三角函數(shù)的定義等知識點的理解和掌握，能熟練地運用相似三角形的性質(zhì)和圓周角定理進行證明是解此題的關(guān)鍵．