Question

18．如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在AC上，G為BC的中點，BE=CD，∠BEC=∠CDB，BD與CE相交于點F，GM⊥BF，GN⊥CF，垂足分別為M，N．
（1）請說出圖中共有幾個等腰三角形，并逐一予以證明．
（2）求證：GM=GN．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△ABC、△FBC是等腰三角形，由△EFB≌△DFC得FB=FC，∠EBF=∠DCF，推出∠FBC=∠FCB，∠ABC=∠ACB由此即可解決問題．
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一，以及角平分線性質(zhì)定理即可解決．

解答 （1）答：△ABC、△FBC是等腰三角形．
證明：在△EFB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFB=∠DFC}\\{∠BEF=∠FDC}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△DFC，
∴EF=FD，BF=CF，∠EBF=∠DCF，
∴△FBC是等腰三角形，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠EBF+∠FBC=∠DCF+∠FCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）證明：∵FB=FC，BG=GC，
∴∠BFG=∠CFG，
∵GM⊥FB，GN⊥FC，
∴GM=GN．

點評 本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確尋找全等三角形是解題的關(guān)鍵，注意等腰三角形的性質(zhì)三線合一的應(yīng)用，屬于中考常考題型．