Question

2．在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CBE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三點(diǎn)共線，解直角三角形求出即可；過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出∠D=∠CBE，證△CBE≌△CDF，推出BE=DF，證△AEC≌△AFC，推出AE=AF，設(shè)BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．

解答 解法一、∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
如圖1中，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CBE，
則∠E=∠CAD=30°，BE=AD=10，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB）+（180°-∠E-∠BCE）=180°，
∴A、B、E三點(diǎn)共線，
過C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=$\frac{1}{2}$×（6+10）=8，
在Rt△AMC中，AC=$\frac{AM}{cos30°}$=$\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$；

解法二、如圖2中，過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
則∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠D}\\{∠E=∠CFD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠AFC}\\{∠EAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
設(shè)BE=DF=x，
∵AB=6，AD=10，
∴AE=AF=x+3，
∴10-x=6+x，
解得：x=2，
即AE=8，
∴AC=$\frac{AE}{cos30°}$=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$，
故答案為 $\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中，屬于中考填空題中的壓軸題．