Question

12．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，6），連結(jié)OA，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．以P為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-h）²+k與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，以Q為頂點(diǎn)，作邊長(zhǎng)為4的正方形QDEF．使得DQ∥x軸，且點(diǎn)D在點(diǎn)Q左側(cè)，點(diǎn)F在點(diǎn)Q的下方．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）用含有t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)（4t，3t）
（2）當(dāng)四邊形BCFE為平行四邊形時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)C落在線段DE或QF上時(shí)，求t的值．
（4）如圖②，以O(shè)B、BC為鄰邊作矩形OBCG，當(dāng)點(diǎn)Q在矩形OBCG內(nèi)部時(shí)，設(shè)矩形OBCG與正方形QDEF重疊部分圖形的周長(zhǎng)為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，6），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）由P（4t，3t），可得拋物線的解析式為：y=（x-4t）²+3t，易得當(dāng)BC=EF時(shí)，四邊形BCFE為平行四邊形，繼而求得答案；
（3）首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（8-4t，6-3t），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4-4t，2-3t），然后分別令8t=4-4t與8t=8-4t，去分析求解即可求得答案；
（4）分別從當(dāng)點(diǎn)Q在CG上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，當(dāng)$\frac{2}{3}$＜t＜1時(shí)，當(dāng)1≤t＜2時(shí)，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，6），
∴OA=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵OP=5t，
∴$\frac{x}{8}=\frac{5t}{10}$=$\frac{y}{6}$，
∴x=4t，y=3t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4t，3t）；
故答案為：4t，3t；

（2）∵P（4t，3t），
∴拋物線的解析式為：y=（x-4t）²+3t，
由對(duì)稱性可得：BC=8t，
∵BC∥x軸，EF∥x軸，
∴BC∥EF，
∴當(dāng)BC=EF時(shí)，四邊形BCFE為平行四邊形，
∴8t=4，
解得：t=$\frac{1}{2}$；

（3）當(dāng)x=8t時(shí)，y=（8t-4t）²+3t=16t²+3t，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8t，16t²+3t），
根據(jù)題意得：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（8-4t，6-3t），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4-4t，2-3t），
令8t=4-4t，解得：t=$\frac{1}{3}$，
此時(shí)：8t=8×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$，6-3t=6-3×$\frac{1}{3}$=5，2-3t=2-3×$\frac{1}{3}$=1，
∵1＜$\frac{8}{3}$＜5，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{3}$時(shí)，點(diǎn)C落在DE上，
令8t=8-4t，解得：t=$\frac{2}{3}$，
此時(shí)：8t=8×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，6-3t=6-3×$\frac{2}{3}$=4，2-3t=2-3×$\frac{2}{3}$=0，
∵0＜4＜$\frac{16}{3}$，
∴當(dāng)t=$\frac{2}{3}$時(shí)，點(diǎn)C不落在DE上；
綜上可得：點(diǎn)C落在線段DE或QF上時(shí)，t=$\frac{1}{3}$．

（4）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在CG上時(shí)，8t=8-4t，解得：t=$\frac{2}{3}$；
如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在y軸上時(shí)，4-4t=0，解得：t=1；
如圖③，當(dāng)$\frac{2}{3}$＜t＜1時(shí)，QM=6-3t，DQ=4，
則y=2QM+2DQ=2（6-3t+4）=20-6t；
如圖④，當(dāng)1≤t＜2時(shí)，QN=8-4t，QM=6-3t，
y=2QN+2QM=2（8-4t+6-3t）=28-14t．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及相似三角形性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．