Question

已知一個二次函數(shù)的圖象過點A（-1，10），B（1，4），C（2，7），點D和點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只有一個公共點D的直線？如果存在，求出符合條件的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,根的判別式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：存在，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A，B，C代入求出a，b，c的值，確定出拋物線解析式，得出對稱軸，由D與B關(guān)于對稱軸對稱求出D坐標，代入表示出m，進而求出過D的解析式，聯(lián)立后消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式等于0求出k的值，即可得出滿足題意的解析式．

解答：解：存在，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把A、B、C坐標代入得：

a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7

，
解得：

a=2 b=-3 c=5

，
∴拋物線解析式為y=2x²-3x+5，對稱軸為直線x=

3

4

，
∵點D與B關(guān)于對稱軸對稱，
∴D（

1

2

，4），
設(shè)過點D的直線為y=kx+m，把D坐標代入得：

1

2

k+m=4，即m=4-

1

2

k，
∴過D的解析式為y=kx+4-

1

2

k，
聯(lián)立y=2x²-3x+5得：2x²-3x+5=kx+4-

1

2

k，
整理得：2x²-（3+k）x+

1

2

k+1=0，
令△=0，得：（3+k）²-8（

1

2

k+1）=0，
解得：k=-1，
則符合題意的解析式為y=-x+

9

2

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．