Question

閱讀下列材料：如圖，二次函數(shù)y=-x²+2（y≥0）的圖象與x、y軸分別交于點A、B、C．設(shè)點P（x，y）為該圖象上的任意一點，連接OP，怎樣求OP的長度取值范圍呢？
回    顧：∵y=x²-4x+5=x²-4x+4-4+5=（x-2）²+1，∴y的最小值為1；
舉一反三：∵y=x⁴-4x²+5=x⁴-4x²+4-4+5=（x²-2）²+1，∴y的最小值為1；
請參照上述方法，完成下列問題：
（1）求函數(shù)y=x⁴-8x²+20的最小值；
（2）求函數(shù)y=x⁴+2x²+3的最小值；
（3）探究“閱讀材料”中OP長度的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）配方，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（2）先配方，再根據(jù)平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)兩點間的距離求出OP²，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求出OP²，然后開方求出最小值，再寫出OP的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵y=x⁴-8x²+20=（x²-4）²+4，
∴x²=4，即x=±2時，y有最小值4；

（2）y=x⁴+2x²+3=（x²+1）²+2，
∵x²≥0，
∴當(dāng)x²=0，即x=0時，y有最小值3；

（3）∵OP²=x²+（-x²+2）²，
=x⁴-3x²+4，
=（x²-

3

2

）²+

7

4

，
∴當(dāng)x²=

3

2

時，即x=±

6

2

時，OP²有最小值

7

4

，
OP=

7

2

，
所以，OP的取值范圍是OP≥

7

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的最值問題的求解，讀懂題目信息，理解最小值的求解方法是解題的關(guān)鍵．