Question

2．探究：如圖①，直線l₁∥l₂∥l₃，點(diǎn)C在l₂上，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)作∠ACB=90°，角的兩邊分別交l₁與l₃于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，過點(diǎn)C作CD⊥l₁于點(diǎn)D，延長DC交l₃于點(diǎn)E．
求證：△ACD∽△CBE．
應(yīng)用：如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上，設(shè)AB與l₂的交點(diǎn)為F，若AC=BC，l₁與l₂之間的距離為2，l₂與l₃之間的距離為1，則AF的長度是$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 探究：根據(jù)已知條件得到∠ADC=∠CEB=90°，于是得到∠ACD+∠DAC=90°，由于∠ACB=90°，于是得到∠ACD+∠ECB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAC=∠ECB，即可得到結(jié)論；
應(yīng)用：通過△ACD≌△BCE，得到AD=CE=1，CD=BE=2，根據(jù)勾股定理得到AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{10}$，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可得到結(jié)論．

解答 探究：證明：∵l₁∥l₃，CD⊥l₁，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∴△ACD∽△CBE；

應(yīng)用：在△ACD與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠DAC=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE=1，CD=BE=2，
∵∠ADC=CEB=90°，
∴AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{10}$，
∵l₁∥l₂∥l₃，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{CD}{DE}=\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴AF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．