Question

已知直線L₁：y=

1

2

x+5與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，直線L₂：y=-2x+10與坐標(biāo)軸交于C、D兩點，兩直線交于點P．
（1）求P點坐標(biāo)；
（2）判別△PAC的形狀，并說明理由；
（3）在x軸上是否存在點Q，使△PAQ是等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將y=

1

2

x+5和y=-2x+10組成方程組，方程組的解就是交點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)系數(shù)的積的比為-1，判斷出兩直線垂直，得到△PAC為直角三角形．
（3）過P作PE⊥x軸于E，E點坐標(biāo)為（2，0），根據(jù)勾股定理求出PA的長，直接求出Q₁，Q₂，Q₄，作GQ₃⊥AP，求出GQ₃解析式，得到Q₃的坐標(biāo)．

解答：解：如圖：
（1）將y=

1

2

x+5和y=-2x+10組成方程組得

y= 1 2 x+5 y=-2x+10

，
解得

x=2 y=6

，
可得P（2，6）．

（2）∵L₁：y=

1

2

x+5的比例系數(shù)為k，L₂：y=-2x+10的比例系數(shù)為-2，
可得

1

2

×（-2）=-1，
∴∠APC=90°，△PAC為直角三角形．

（3）過P作PE⊥x軸于E，
E點坐標(biāo)為（2，0）．
∵P（2，6），A（-10，0），
∴PA=

62+122

=6

5

，
∴可見，OQ₁=6

5

-10，
Q₁（6

5

-10，0），Q₂（-6

5

-10，0），
作GQ₃⊥AP，設(shè)GQ₃解析式為y=-2x+b，H坐標(biāo)為（-4，3），
將H（-4，3）代入y=-2x+b得，3=-2×（-4）+b，
解得b=-5，
∴y=-2x-5，
當(dāng)y=0時，x=-

5

2

，Q₃（-

5

2

，0），Q₄（2+6

5

，0）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，熟悉函數(shù)和方程的關(guān)系，充分利用圖形，根據(jù)一次函數(shù)的特點，分別求出各點的坐標(biāo)再計算．