Question

如圖，在等邊△ABC中，點D是AC的中點，F(xiàn)是BC的中點，以BD為邊作等邊△BDE．求證：AB=EF，且四邊形AEBF是矩形．

Answer 1

考點：矩形的判定

專題：證明題

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF=BD=BE，再求出∠EBF=∠AFB=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△EFB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=EF，再求出四邊形AEBF是平行四邊形，然后根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可．

解答：證明：∵等邊△ABC中，點D是AC的中點，F(xiàn)是BC的中點，
∴AF=BD，∠CBD=30°，
∵△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴AF=BD=BE，∠EBF=∠AFB=90°，
在△ABF和△EFB中，

AF=BE ∠EBF=∠AFB=90° BF=FB

，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴AB=EF，
∵∠AFB=∠EBF=90°，
∴AF∥BE，
又∵∠AF=BE，
∴四邊形AEBF是平行四邊形，
∵AB=EF，
∴四邊形AEBF是矩形，
故AB=EF，且四邊形AEBF是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．