Question

13．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，過(guò)AC上一點(diǎn)D作DE∥AB，交BF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，AG⊥BE，垂足是G，連接BD、AE．
（1）求證：△ABC∽△BGA；
（2）若AF=5，AB=8，求FG的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)AB=BC，∠DBC=30°時(shí)，求$\frac{DE}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出BF=AF，得出∠FAB=∠FBA，再由∠ABC=∠AGB=90°，即可證出△ABC∽△BGA；
（2）先求出AC、BF，再由三角形相似得出比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{AB}$，求出BG，即可得出FG；
（3）延長(zhǎng)ED交BC于H，則DH⊥BC，先證出△DHC、△BEH是等腰直角三角形，得出DH=HC，EH=BH，設(shè)DH=HC=a，求出BD=2a，BH=$\sqrt{3}$a，得出EH、DE，即可求出$\frac{DE}{BD}$的值．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$AC=AF，
∴∠FAB=∠FBA，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴∠ABC=∠AGB，
∴△ABC∽△BGA；
（2）∵AF=5，
∴AC=2AF=10，BF=5，
∵△ABC∽△BGA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{AB}$，
∴BG=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=$\frac{{8}^{2}}{10}$=$\frac{32}{5}$，
∴FG=BG-BF=$\frac{32}{5}$-5=$\frac{7}{5}$；
（3）延長(zhǎng)ED交BC于H，如圖所示：
則DH⊥BC，
∴∠DHC=90°，
∵AB=AC，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，
∴∠C=45°，∠CBF=45°，
∴△DHC、△BEH是等腰直角三角形，
∴DH=HC，EH=BH，
設(shè)DH=HC=a，
∵∠DBC=30°，
∴BD=2a，BH=$\sqrt{3}$a，
∴EH=$\sqrt{3}$a，
∴DE=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)證明等腰直角三角形、解直角三角形才能得出結(jié)果．