Question

3．已知⊙C的半徑為r，點P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于⊙C的反演點的定義如下：
若點P'在射線CP上，滿足CP'•CP=r²，則稱點P'是點P關(guān)于⊙C的反演點．圖1為點P及其關(guān)于⊙C的反演點P'的示意圖．
（1）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為6，⊙O與x軸的正半軸交于點A．
①如圖2，∠AOB=135°，OB=18，若點A'，B'分別是點A，B關(guān)于⊙O的反演點，則點A'的坐標是（6，0），點B'的坐標是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
②如圖3，點P關(guān)于⊙O的反演點為點P'，點P'在正比例函數(shù)y=$\sqrt{3}$x位于第一象限內(nèi)的圖象上，△P'OA的面積為6$\sqrt{3}$，求點P的坐標；
（2）點P是二次函數(shù)y=x²-2x-3（-1≤x≤4）的圖象上的動點，以O(shè)為圓心，$\frac{1}{2}$OP為半徑作圓，若點P關(guān)于⊙O
的反演點P'的坐標是（m，n），請直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)反演點的定義求出OB′的長即可解決問題．
②解法一：過點P'作P'E⊥x軸于點E，如圖3中，求出OF、PF即可解決問題．解法二：過點A作AH⊥PP'于點H，如圖4中，求出OF、PF即可解決問題．
（2）①當點P是拋物線頂點（1，-4）時，作PE⊥x軸于E，過反演點P'作P′F⊥x軸于F．求出點P′的縱坐標即可．②當P點坐標為（4，5）時，求出反演點P'的縱坐標，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖2中，

∵OA•OA′=6²，
∴OA′=6，
∴A′（6，0），
∵OB•OB′=6²，
∴OB′=2，
∵∠AOB=135°，易知B′（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案為A'（6，0），B′（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

②解法一：
過點P'作P'E⊥x軸于點E，如圖3中，

∵S_△OAP′=$\frac{1}{2}$•OA•P′E=6$\sqrt{3}$，
∴P′E=2$\sqrt{3}$，
∵點P'在正比例函數(shù)y=$\sqrt{3}$x位于第一象限內(nèi)的圖象上，
∴y_P′=2$\sqrt{3}$，
∴x_P'=2．
∴OP'=4，∠P'OE=60°．
∵點P關(guān)于⊙O的反演點是P'點，
∴OP'•OP=6²．
∴OP=9．
過點P作PF⊥x軸于點F．
∴OF=$\frac{9}{2}$，PF=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴點P的坐標為P（$\frac{9}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）．

解法二：
過點A作AH⊥PP'于點H，如圖4中，

∵點P'在正比例函數(shù)y=$\sqrt{3}x$位于第一象限內(nèi)的圖象上，
∴設(shè)點P的坐標為（t，$\sqrt{3}$t），其中t＞0．
∴tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}t}{t}$=$\sqrt{3}$，
∴∠POA=60°，
在Rt△OHA中，AH=OA•sin∠AOH=3$\sqrt{3}$，
∵S_△OAP′=$\frac{1}{2}$•OP′•PAH=6$\sqrt{3}$，
∴OP'=4．
∵點P關(guān)于⊙O的反演點是P'點，
∴OP'•OP=6²．
∴OP=9．
過點P作PF⊥x軸于點F．
在Rt△OFP中，t²+（$\sqrt{3}$t）²=9²，
解得t=$\frac{9}{2}$或-$\frac{9}{2}$（舍去），
∴點P的坐標為P（$\frac{9}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）．

（2）如圖5中，

①當點P是拋物線頂點（1，-4）時，作PE⊥x軸于E，過反演點P'作P′F⊥x軸于F．
∵OP=$\sqrt{17}$，r=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴OP′=$\frac{{r}^{2}}{OP}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∵PE∥P′F，
∴$\frac{OP′}{OP}$=$\frac{P′F}{PE}$=$\frac{1}{4}$，
∴P′F=1，
∴n=-1，
②當P點坐標為（4，5）時，同法可得反演點P'的縱坐標n=$\frac{5}{4}$，
綜上所述，-1≤n≤$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、圓、勾股定理，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，屬于中考創(chuàng)新題目．