Question

20．如圖，拋物線y=-x²+bx+c的頂點為Q，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標；
（2）在該拋物線上求一點P，使得S_△PAB=S_△ABC，求出點P的坐標：
（3）若點D是第一象限拋物線上的一個動點，過點D作DE⊥x軸，垂足為E．有一個同學說：“在第一象限拋物線上的所有點中，拋物線的頂點Q與x軸相距最遠，所以當點D運動至點Q時，折線D-E-O的長度最長．”這個同學的說法正確嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，可直接利用交點式求得y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5，繼而求得頂點Q的坐標；
（2）首先設點P的縱坐標為a，由S_△PAB=S_△ABC，可得a=±5，然后可得-x²+4x+5=±5，繼而求得點P的坐標；
（3）首先設D（t，-t²+4t+5），折線D-E-O的長度為L，則可得L=-t²+4t+5+t，然后求得最大值，即可知這個同學的是否說法正確．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，
∴y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5，
∴拋物線的解析為y=-x²+4x+5；
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴頂點Q的坐標為（2，9）；

（2）在y=-x²+4x+5中，當x=0時，y=5，
∴點C的坐標為：（0，5），
設點P的縱坐標為a，
若S_△PAB=S_△ABC，則|a|=5，
解得a=±5．
當a=5時，-x²+4x+5=5，解得x=0（舍去）或x=4，此時點p的坐標為（4，5）；
當a=-5時，-x²+4x+5=-5，解得x=2±$\sqrt{14}$，此時點p的坐標為（2+$\sqrt{14}$，-5）或（2-$\sqrt{14}$，-5）；
綜上，點p的坐標為（4，5）或（2+$\sqrt{14}$，-5）或（2-$\sqrt{14}$，-5）；

（3）這個同學的說法不正確
理由：設D（t，-t²+4t+5），折線D-E-O的長度為L，
則L=-t²+4t+5+t=-（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{45}{4}$．
∵a＜0，
∴當t=$\frac{5}{2}$時，L_最大值=$\frac{45}{4}$．
而當點D與點Q重合時，L=9+2=11＜$\frac{45}{4}$，
∴該同學的說法不正確．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、三角形面積問題以及二次函數(shù)的最值問題．注意掌握分類討論思想的應用，注意準確表示出折線D-E-O的長度是關鍵．